Heittoliike - nopeuden neliöön verrannollinen ilmanvastus - differentiaaliyhtälöiden tarkastelua - osa 2

Kuten viime osassa tuli todettua, differentiaaliyhtälöiden tarkastelu jatkuu. Seuraavassa osassa ryhdytään miettimään vähän enemmän sitä, miten saaduista yhtälöistä saadaan numeerisia tuloksia ja mitä yhtälöä olisi kulloinkin parasta käyttää.

Edellisessä osassa päästiin siihen, että saatiin muodostettua hieman yksinkertaisemmat liikeyhtälöt ja huomattiin, että systeemissä on liikevakioita, vaikka energia ei sellainen olekaan. Niinpä tässä kohden tulisi ensimmäisenä mieleen, että nythän nuo yhtälöt sitten kannattaa jotenkin ratkaista. Yhtälöiden luonteen vuoksi on oikeastaan vain kaksi vaihtoehtoa: approksimatiivinen ratkaisu ja ratkaisun kirjoittaminen jonkinlaisena sarjakehitelmänä.

Aiemmin mainitsemassani artikkelissa An analytic solution to the equations of the motion of a point mass with quadratic resistance and generalizations on tehty juuri tämä, ja kehitetty ratkaisu (vastaa tämän blogin merkinnöillä funktiota u) sarjakehitelmäksi ajan suhteen. Mutta olipa kyseessä sitten approksimatiivinen ratkaisu tai sarjaratkaisu, pitäisi sillä kuitenkin kyetä viime kädessä jotain tekemään ja siistejä lukuja kirjoittamaan. Niinpä on ihan aiheellista kysyä, onnistuuko tämä nyt kirjoitetuista yhtälöistä mitenkään järkevällä tavalla, vai pitääkö yhtälöitä vielä jotenkin muokata, ennen kuin varsinaista ratkaisua aletaan kirjoittaa.

Tarkastellaan siis yhtälöä 3 (osassa 1). Välittömästi nähdään, että yhtälön oikea puoli on aina negatiivinen, mikä tarkoittaa, että u:n ensimmäinen aikaderivaatta on aidosti vähenevä. Lisäksi alkuehdosta 2 nähdään, että myös tämän derivaatan alkuarvo on negatiivinen. Niin muodoin myös u on aidosti vähenevä funktio. Koska lisäksi u:n alkuarvo on positiivinen (alkuehdot 2 edelleen), tiedetään myös, että u:lla on täsmälleen yksi nollakohta.

Koetetaan sitten näillä tiedoilla selvittää, mikä on u:n asymptoottinen käytös, kun aikaa on kulunut "hyvin paljon". Yhtälöstä 3 nähdään, että tällöin oikean puolen neliöjuuren arvo on likimain -u. (Koska u < 0, ja neliöjuuri on aina positiivinen tai nolla.) Tällöin asymptoottista käytöstä kuvaa differentiaaliyhtälö

Tämän ratkaisu puolestaan on (tässä tapauksessa) muotoa

Asymptoottinen ratkaisu

Siis eksponentiaalisesti vähenevä funktio. Tämä tarkoittaa nyt sitä, että jos yhtälön 3 ratkaisua approksimoidaan ajan suhteen etenevällä potenssisarjalla, sarja kuvaa ratkaisua yhä huonommin, mitä pidemmälle aika kuluu. Ellei sitten lasketa ääretöntä määrää termejä. Mutta jos tavoitteeksi asetetaan, että numeroita on saatava ulos, niin termejä on aina rajallinen määrä. Niin ollen artikkelissa esitetty ratkaisu, vaikka onkin matemaattisesti pätevä, ei välttämättä kelpaa tietokoneohjelmassa käytettäväksi. Niinpä on koetettava keksiä jotain tämän asymptoottisen eksponenttikäytöksen poistamiseksi yhtälöstä. Se onkin nyt seuraava vaihe yhtälön ratkaisussa.

Vaihtoehtoja on oikeastaan kaksi. Yksi tapa on se, että eksponentiaalinen osa ratkaisua "kuoritaan" pois kirjoittamalla u asymptoottisen ratkaisun ja siitä poikkeavan termin avulla joko summana tai tulona. Siis esimerkiksi

jossa ϵ on tuntematon funktio. Kuitenkin, jos tämänkaltaisen sijoituksen tekee yhtälöön 3, huomaa melko pian, että yhtälö muuttuu vain mutkikkaammaksi ja saatu etu menetetään. Jotain muuta täytyy siis keksiä, ellei ole jotenkin fakiirimainen luonne, että jaksaisi sieltä sen sarjakehitelmän etsiä. 

Toinen tapa olisi löytää jokin toinen sijoitus, joka jotenkin kadottaisi tuon riippuvuuden, tai edes siirtäisi jonnekin, missä sitä voidaan käsitellä helpommin. Tässä yhteydessä tuo sijoitus löytyy tarkastelemalla yhtälön 3 oikeaa puolta ja käyttämällä hyväksi hyperbolisen sinin ominaisuuksia. Kirjoitetaan siis

Tämän jälkeen voidaan melko lyhyellä laskulla päästä tulokseen, että yhtälö 3 voidaan kirjoittaa yhtäpitävässä muodossa

Yhtälö 4

Alkuarvot muuntuvat nyt vastaavasti muotoon

Missä määrin tämä yhtälö 4 nyt sitten on numeeriseen käsittelyyn parempi kuin yhtälö 3? Koska nyt ajan t kasvaessa rajatta u vähenee rajatta, täytyy p:n tehdä samoin, sillä hyperbolinen sini on aidosti kasvava. Tällöin yhtälö 4 saa muodon

Tämän ratkaisu ei ole ihan simppeli, mutta onnistuu kyllä kirjoittamalla yhtälö normaaliryhmässä. Tuloksena on

Tämä taas on lineaarinen, joten potenssisarjakehitelmät suppenevat paljon paremmin.

Yhtälö 4 voidaan kirjoittaa normaaliryhmässä ja integroida kerran. Tästä saadaan

Yhtälö 5

Tässä esiintyvä vakio C voidaan kirjoittaa alkuehtojen tai Hamiltonin funktion avulla:

Edelleen voidaan todeta, että matemaattisesti yhtälö 4 ei ole millään muotoa välttämätön. Yhtälö 3 voidaan kirjoittaa vastaavaan tapaan normaaliryhmässä ja integroida kerran. Tekemällä tästä saatuun yhtälöön muuttujanvaihto päädytään täysin identtiseen lausekkeeseen yhtälön 5 kanssa. Ainoa syy, miksi yhtälö 4 on muodostettu, on siitä saatavat tietyt edut numeerisessa laskennassa, sekä mahdollisesti muodostettaessa p:lle potenssisarjaa ajan funktiona.

Heittoliike - nopeuden neliöön verrannollinen ilmanvastus - differentiaaliyhtälöiden tarkastelua - osa 1

Aloitetaan aiemmin kuvatun ongelman käsittely. Vaikuttaisi siltä, että tekstille tulee pituutta sen verran, että jaan tämän differentiaaliyhtälöiden käsittelyn kahteen osaan. Tässä siis vasta alkuosa.

Kirjoitetaan aluksi ilmanvastuksen aiheuttama voima muodossa (v kappaleen vauhti)

jossa esiintyvä verrannollisuuskerroin voidaan kirjoittaa edelleen

Tässä esiintyvä kerroin c_w on kappaleen muotokerroin (tässä yhteydessä kappale on useimmin pallomainen, jolloin c_w = 0,15 ... 0,2), A on kappaleen poikkipinta-ala ja ρ väliaineen (ilman) tiheys. Lisäksi laskuissa käytetään kerrointa, jossa kappaleen massa on huomioitu:

yksikkönä on SI-yksiköissä 1/m. Näillä merkinnöillä voidaan kappaleen liikeyhtälö kirjoittaa komponenteittain muodossa

Yhtälö 1

 Näiden yhtälöiden lisäksi on tietenkin alkuehdot

Alkuehdot 1

jossa φ on nopeusvektorin ja vaakatason välinen kulma.

Joissain tästä aiheesta kirjoitetuissa teksteissä tässä kohdin nostetaan kädet pystyyn ja siirrytään numeerisen ratkaisun tekemiseen, mutta minusta tuntuu, että silloin jäävät hauskimmat ja mielenkiintoisimmat seikat huomaamatta.

Sijoitetaan yhtälöön 1

Sijoitus 1

Tässä vaakasuuntainen muutos on tehty lähinnä siksi, että alaindeksistä pääsee eroon. Samalla kun muunnos tehdään, myös alkuehdot muuttuvat:

Alkuehdot 2

Vaakasuuntaiselle kiihtyvyydelle on myös alkuarvo, mutta sitä ei tarvita tässä tarkastelussa mihinkään, niin se on jätetty laskematta.

Kun nyt tehdään sijoitus ja lasketaan, miten liikeyhtälöt muuntuvat, tuloksena on

Yhtälö 2

Vaikuttaa siltä, että sijoitus oli ainakin siinä mielessä kannattava, että liikeyhtälöt yksinkertaistuivat. Edelleen näistä kahdesta yhtälöstä voidaan melko vaivattomasti kirjoittaa erilliset differentiaaliyhtälöt, jotka sisältävät pelkästään r:ää tai u:ta. Näistä kahdesta yhtälöstä juuri u:n suhteen kirjoitettu on ehkä mielenkiintoisin.

Muodostetaan siis yhtälö u:lle:

• Derivoidaan yhtälön 2 jälkimmäinen yhtälö ja ratkaistaan r:n aikaderivaatta.
• Ratkaistaan yhtälön 2 jälkimmäisestä yhtälöstä r.
• Sijoitetaan molemmat yhtälön 2 edelliseen yhtälöön.

Tuloksena on

Yhtälö 3

Tämä yhtälö on nyt monessa suhteessa varsin mielenkiintoinen. Se on epälineaarinen toisen kertaluvun differentiaaliyhtälö, joten sen ratkaisu ei ole mikään helppo juttu. Kaikesta huolimatta se on varsin yksinkertaisen näköinen. Edelleen, jos ongelman lähtökohtaa miettii, on selvää, että systeemi (heittoliikkeessä oleva kappale, johon vaikuttaa ilmanvastus) on häviöllinen eikä energia säily. Siksi voi olla vähän yllättävää, että nyt voidaankin muodostaa yhtälölle Lagrangen funktio:

Lagrangen funktio yhtälölle 3

Edelleen voidaan muodostaa Hamiltonin funktio:

Hamiltonin funktio yhtälölle 3

Nyt voidaan tehdä muutamia päätelmiä:

• Hamiltonin funktio ei riipu eksplisiittisesti ajasta, joten se on liikevakio.
• Systeemillä on siis (ääretön määrä) säilyviä suureita riippumatta siitä, että energia ei ole liikevakio.
• Mikäli halutaan käyttää numeerisia menetelmiä liikeyhtälöiden ratkaisuun, voidaan käyttää symplektisiä menetelmiä, joissa nämä liikevakiot säilyttävät arvonsa.

Samalla on jäänyt avoimeksi pari kysymystä, joiden tarkasteluun ei aika ole riittänyt:

1. Mitä tapahtuu kanonisilla muunnoksilla? Voidaanko jollain muunnoksella saavuttaa vielä lisäetua?
2. Entä Hamiltonin-Jacobin yhtälö? Voidaanko löytää (järkevästi) koordinaattijärjestelmä, jossa sekä koordinaatti että sitä vastaava impulssi olisivat itse liikevakioita?

Heittoliike - nopeuden neliöön verrannollinen ilmanvastus - ongelman esittely

Joitain vuosia sitten kohuttiin, että teinipoika ratkaisi itseltään Newtonilta ratkaisemattomaksi jääneen tehtävän heittoliikkeestä. Mutta mistä koko asiassa on oikeastaan kysymys, ja mitä tuo ratkaisu oikein tarkoittaa käytännön laskujen kannalta?

Heittoliike voidaan fysikaalisesti määritellä niin, että jokin kappale, vaikkapa pallo tai keihäs, heitetään ilmaan ja annetaan tuon kappaleen sitten käyttäytyä niiden fysiikanlakien alaisina, millä arvioidaan olevan suurimmat vaikutukset. Esimerkiksi pallonheitossa siis palloon vaikuttaa sekä gravitaatiovoima että ilmanvastus. Lisäksi yleesä oletetaan, että heitto on tapahtunut tasaisella alustalla (matemaattinen taso), ja kappale on saanut lähtöhetkellään tietyn lähtönopeuden sekä se etenee lähtöhetkellä tiettyyn suuntaan (kulma vaakatasosta mitattuna). Itse ongelma on varsinaisesti sitten se, että selvitetään, miten ilmaan heitetty kappale liikkuu: mikä on kappaleen nopeus ja paikka jollakin tietyllä ajanhetkellä tai milloin ja miten kaukana se osuu maahan.

Jos ilmanvastus jätetään täysin huomiotta, mikä tarkoittaa, että heitto olisi tapahtunut tyhjiössä, ongelma on varsin yksinkertainen lukiofysiikan ongelma. Tehtävän ratkaisukin on melko hyvin tunnettu paraabelirata. Tämä tulos ei kuitenkaan ole välttämättä kovin tarkka tai todellisuutta vastaava, sillä se jättää tavallisissa olosuhteissa tärkeän ilmanvastuksen vaikutuksen huomiotta.

Paraabeliratkaisun ongelmien korjaamiseksi laskuihin voidaan lisätä ilmanvastuksen aiheuttamat vaikutukset. Tässä on ongelmana se, että täsmällisen vastauksen saamiseksi pitäisi ottaa huomioon, että ilma on kaasumaista ja päädyttäisiin laskemaan jo huomattavan monimutkaista hydrodynamiikan laskua. Se taas ei ongelman luonne huomioiden vaikuta kovinkaan järkevältä. Niinpä käytössä on lähinnä kaksi tapaa ilmanvastuksen aiheuttaman voiman arvioimiseen:

• Ilmanvastuksen suuruus on verrannollinen kappaleen nopeuteen. Tämä tarkoittaa virtausdynamiikan kannalta sitä, että kappaleen ja kaasun suhteellinen nopeus on niin pieni, että kaasuun ei muodostu pyörteitä kappaleen kulkiessa sen sisällä. Toisin sanoen, kaasu virtaa laminaarisesti kappaleen ohi. Jos nopeus on kuitenkin suurempi, tällöin kaasun virtaus ei enää ole laminaarinen, vaan turbulenttinen, eikä tätä mallia voida käyttää.
• Toisena vaihtoehtona on käyttää mallia, jossa ilmanvastuksen suuruus on verrannollinen kappaleen nopeuden neliöön. Tämä malli edustaa tilannetta, jossa kaasun virtaus on turbulenttinen.

Näistä kahdesta ensimmäinen tapa huomioida ilmanvastus on vielä suhteellisen yksinkertainen ratkaista. Jonkin verran joutuu miettimään, miten liikeyhtälöt kirjoittaa, mutta niiden ratkaisu on varsin suoraviivainen (ja siis tylsä), enkä sitä täällä esitä. Toinen tapa sen sijaan, on jo huomattavasti vaikeampi. Liikeyhtälöissä päädytään epälineaariseen differentiaaliyhtälöpariin, jonka ratkaisu on jos jonkinmoista kaavanpyöritystä ja päänvaivaa, ja tämä on nyt se niin kutsuttu Newtonin heittoliikeongelma.

Ongelmaa on tutkittu jonkin verran, eikä tännekään blogiin tulevissa lausekkeissa ole mitään varsinaisesti uutta. Sen takia en näitä tänne ole naputtelemassa. Vaan siksi, että noiden yhtälöiden pyörittäminen on ollut varsin mielenkiintoista, ja minusta tuntuu, että olisi ihan hauskaa olla niistä jotain dokumenttia näiden yhdeksän vuoden enemmän tai vähemmän intensiivisen kaavanpyörityksen jäljiltä. Satunnaisen epäsäännöllisesti tulen tämän ongelman läpikäymisen yhteydessä viittaamaan myös ratkaisusta kirjoitettuun artikkeliin An analytic solution to the equations of the motion of a point mass with quadratic resistance and generalizations, joka on luettavissa ilmaiseksi Arxivista.

Seuraavalla kerralla koetan hieman avata ongelmaan liittyviä differentiaaliyhtälöitä, ja mitä niiden takana oikein on. Sitä seuraavalla kerralla on varmaankin vuorossa itse yhtälöiden ratkaisun muodostaminen, ellei tuo differentiaaliyhtälöiden osuus veny kovin pitkäksi.

Approksimoinnin vaikeudesta

Joskus tuntuu, että funktioiden approksimointi on suorastaan enemmän taidetta kuin matematiikkaa. Tai ainakin se vielä monen vuoden jälkeenkin aiheuttaa kiitettävästi päänvaivaa, ja eteenpäin tuntuu pääsevän lähinnä jonkin hämärän oivalluksen ansiosta paremminkin kuin kokemuksen avulla.

Työnalla on tämän varsin mielenkiintoisen näköisen funktion approksimointi (C ja alpha enemmän tai vähemmän mielivaltaisia reaalilukuvakioita):

Aloittelin sitä muistaakseni viime keväänä tai kesänä ja kirjoitin siitä yhden postauksenkin tuohon aiempaan blogiin. Kerron tuon funktion taustasta täällä vähän myöhemmin, kunhan saan laskut siihen kuntoon, että niissä on jotain mielekästä esitettävää. Toistaiseksi kaikki vain junnaa juuri tuossa approksimoinnissa, ettei sitä kunnollista tulosta ole saanut oikein paperille. Lisäksi kun tietää jo tässä vaiheessa, että tulokset ei missään tapauksessa ole mielekkäitä, jos tämän vaiheen tekee huonosti, nii mieluummin sitten olen tähän kuluttanut aikaa ihan reilusti.

Lähinnä tässä olisi tavoitteena, että saisi väännettyä jonkinlaisen funktiota approksimoivan sarjan, että approksimaation tarkkuutta olisi helppo parantaa vain laskemalla sarjasta lisää termejä. Niinpä näyttäisi nyt, että täytyy jonkinnäköinen hokkuspokkus tuohon nimittäjään keksiä ja kaivaa neliöjuuren sarjakehitelmät naftaliinista. Mielenkiintoiselta näyttää tässä vaiheessa, muuta on paha vielä sanoa. Sitä odotellessa siis.