Heittoliike - nopeuden neliöön verrannollinen ilmanvastus - ongelman esittely

Joitain vuosia sitten kohuttiin, että teinipoika ratkaisi itseltään Newtonilta ratkaisemattomaksi jääneen tehtävän heittoliikkeestä. Mutta mistä koko asiassa on oikeastaan kysymys, ja mitä tuo ratkaisu oikein tarkoittaa käytännön laskujen kannalta?

Heittoliike voidaan fysikaalisesti määritellä niin, että jokin kappale, vaikkapa pallo tai keihäs, heitetään ilmaan ja annetaan tuon kappaleen sitten käyttäytyä niiden fysiikanlakien alaisina, millä arvioidaan olevan suurimmat vaikutukset. Esimerkiksi pallonheitossa siis palloon vaikuttaa sekä gravitaatiovoima että ilmanvastus. Lisäksi yleesä oletetaan, että heitto on tapahtunut tasaisella alustalla (matemaattinen taso), ja kappale on saanut lähtöhetkellään tietyn lähtönopeuden sekä se etenee lähtöhetkellä tiettyyn suuntaan (kulma vaakatasosta mitattuna). Itse ongelma on varsinaisesti sitten se, että selvitetään, miten ilmaan heitetty kappale liikkuu: mikä on kappaleen nopeus ja paikka jollakin tietyllä ajanhetkellä tai milloin ja miten kaukana se osuu maahan.

Jos ilmanvastus jätetään täysin huomiotta, mikä tarkoittaa, että heitto olisi tapahtunut tyhjiössä, ongelma on varsin yksinkertainen lukiofysiikan ongelma. Tehtävän ratkaisukin on melko hyvin tunnettu paraabelirata. Tämä tulos ei kuitenkaan ole välttämättä kovin tarkka tai todellisuutta vastaava, sillä se jättää tavallisissa olosuhteissa tärkeän ilmanvastuksen vaikutuksen huomiotta.

Paraabeliratkaisun ongelmien korjaamiseksi laskuihin voidaan lisätä ilmanvastuksen aiheuttamat vaikutukset. Tässä on ongelmana se, että täsmällisen vastauksen saamiseksi pitäisi ottaa huomioon, että ilma on kaasumaista ja päädyttäisiin laskemaan jo huomattavan monimutkaista hydrodynamiikan laskua. Se taas ei ongelman luonne huomioiden vaikuta kovinkaan järkevältä. Niinpä käytössä on lähinnä kaksi tapaa ilmanvastuksen aiheuttaman voiman arvioimiseen:

• Ilmanvastuksen suuruus on verrannollinen kappaleen nopeuteen. Tämä tarkoittaa virtausdynamiikan kannalta sitä, että kappaleen ja kaasun suhteellinen nopeus on niin pieni, että kaasuun ei muodostu pyörteitä kappaleen kulkiessa sen sisällä. Toisin sanoen, kaasu virtaa laminaarisesti kappaleen ohi. Jos nopeus on kuitenkin suurempi, tällöin kaasun virtaus ei enää ole laminaarinen, vaan turbulenttinen, eikä tätä mallia voida käyttää.
• Toisena vaihtoehtona on käyttää mallia, jossa ilmanvastuksen suuruus on verrannollinen kappaleen nopeuden neliöön. Tämä malli edustaa tilannetta, jossa kaasun virtaus on turbulenttinen.

Näistä kahdesta ensimmäinen tapa huomioida ilmanvastus on vielä suhteellisen yksinkertainen ratkaista. Jonkin verran joutuu miettimään, miten liikeyhtälöt kirjoittaa, mutta niiden ratkaisu on varsin suoraviivainen (ja siis tylsä), enkä sitä täällä esitä. Toinen tapa sen sijaan, on jo huomattavasti vaikeampi. Liikeyhtälöissä päädytään epälineaariseen differentiaaliyhtälöpariin, jonka ratkaisu on jos jonkinmoista kaavanpyöritystä ja päänvaivaa, ja tämä on nyt se niin kutsuttu Newtonin heittoliikeongelma.

Ongelmaa on tutkittu jonkin verran, eikä tännekään blogiin tulevissa lausekkeissa ole mitään varsinaisesti uutta. Sen takia en näitä tänne ole naputtelemassa. Vaan siksi, että noiden yhtälöiden pyörittäminen on ollut varsin mielenkiintoista, ja minusta tuntuu, että olisi ihan hauskaa olla niistä jotain dokumenttia näiden yhdeksän vuoden enemmän tai vähemmän intensiivisen kaavanpyörityksen jäljiltä. Satunnaisen epäsäännöllisesti tulen tämän ongelman läpikäymisen yhteydessä viittaamaan myös ratkaisusta kirjoitettuun artikkeliin An analytic solution to the equations of the motion of a point mass with quadratic resistance and generalizations, joka on luettavissa ilmaiseksi Arxivista.

Seuraavalla kerralla koetan hieman avata ongelmaan liittyviä differentiaaliyhtälöitä, ja mitä niiden takana oikein on. Sitä seuraavalla kerralla on varmaankin vuorossa itse yhtälöiden ratkaisun muodostaminen, ellei tuo differentiaaliyhtälöiden osuus veny kovin pitkäksi.