Heittoliike - nopeuden neliöön verrannollinen ilmanvastus - differentiaaliyhtälöiden tarkastelua - osa 1

Aloitetaan aiemmin kuvatun ongelman käsittely. Vaikuttaisi siltä, että tekstille tulee pituutta sen verran, että jaan tämän differentiaaliyhtälöiden käsittelyn kahteen osaan. Tässä siis vasta alkuosa.

Kirjoitetaan aluksi ilmanvastuksen aiheuttama voima muodossa (v kappaleen vauhti)

jossa esiintyvä verrannollisuuskerroin voidaan kirjoittaa edelleen

Tässä esiintyvä kerroin c_w on kappaleen muotokerroin (tässä yhteydessä kappale on useimmin pallomainen, jolloin c_w = 0,15 ... 0,2), A on kappaleen poikkipinta-ala ja ρ väliaineen (ilman) tiheys. Lisäksi laskuissa käytetään kerrointa, jossa kappaleen massa on huomioitu:

yksikkönä on SI-yksiköissä 1/m. Näillä merkinnöillä voidaan kappaleen liikeyhtälö kirjoittaa komponenteittain muodossa

Yhtälö 1

 Näiden yhtälöiden lisäksi on tietenkin alkuehdot

Alkuehdot 1

jossa φ on nopeusvektorin ja vaakatason välinen kulma.

Joissain tästä aiheesta kirjoitetuissa teksteissä tässä kohdin nostetaan kädet pystyyn ja siirrytään numeerisen ratkaisun tekemiseen, mutta minusta tuntuu, että silloin jäävät hauskimmat ja mielenkiintoisimmat seikat huomaamatta.

Sijoitetaan yhtälöön 1

Sijoitus 1

Tässä vaakasuuntainen muutos on tehty lähinnä siksi, että alaindeksistä pääsee eroon. Samalla kun muunnos tehdään, myös alkuehdot muuttuvat:

Alkuehdot 2

Vaakasuuntaiselle kiihtyvyydelle on myös alkuarvo, mutta sitä ei tarvita tässä tarkastelussa mihinkään, niin se on jätetty laskematta.

Kun nyt tehdään sijoitus ja lasketaan, miten liikeyhtälöt muuntuvat, tuloksena on

Yhtälö 2

Vaikuttaa siltä, että sijoitus oli ainakin siinä mielessä kannattava, että liikeyhtälöt yksinkertaistuivat. Edelleen näistä kahdesta yhtälöstä voidaan melko vaivattomasti kirjoittaa erilliset differentiaaliyhtälöt, jotka sisältävät pelkästään r:ää tai u:ta. Näistä kahdesta yhtälöstä juuri u:n suhteen kirjoitettu on ehkä mielenkiintoisin.

Muodostetaan siis yhtälö u:lle:

• Derivoidaan yhtälön 2 jälkimmäinen yhtälö ja ratkaistaan r:n aikaderivaatta.
• Ratkaistaan yhtälön 2 jälkimmäisestä yhtälöstä r.
• Sijoitetaan molemmat yhtälön 2 edelliseen yhtälöön.

Tuloksena on

Yhtälö 3

Tämä yhtälö on nyt monessa suhteessa varsin mielenkiintoinen. Se on epälineaarinen toisen kertaluvun differentiaaliyhtälö, joten sen ratkaisu ei ole mikään helppo juttu. Kaikesta huolimatta se on varsin yksinkertaisen näköinen. Edelleen, jos ongelman lähtökohtaa miettii, on selvää, että systeemi (heittoliikkeessä oleva kappale, johon vaikuttaa ilmanvastus) on häviöllinen eikä energia säily. Siksi voi olla vähän yllättävää, että nyt voidaankin muodostaa yhtälölle Lagrangen funktio:

Lagrangen funktio yhtälölle 3

Edelleen voidaan muodostaa Hamiltonin funktio:

Hamiltonin funktio yhtälölle 3

Nyt voidaan tehdä muutamia päätelmiä:

• Hamiltonin funktio ei riipu eksplisiittisesti ajasta, joten se on liikevakio.
• Systeemillä on siis (ääretön määrä) säilyviä suureita riippumatta siitä, että energia ei ole liikevakio.
• Mikäli halutaan käyttää numeerisia menetelmiä liikeyhtälöiden ratkaisuun, voidaan käyttää symplektisiä menetelmiä, joissa nämä liikevakiot säilyttävät arvonsa.

Samalla on jäänyt avoimeksi pari kysymystä, joiden tarkasteluun ei aika ole riittänyt:

1. Mitä tapahtuu kanonisilla muunnoksilla? Voidaanko jollain muunnoksella saavuttaa vielä lisäetua?
2. Entä Hamiltonin-Jacobin yhtälö? Voidaanko löytää (järkevästi) koordinaattijärjestelmä, jossa sekä koordinaatti että sitä vastaava impulssi olisivat itse liikevakioita?