Approksimoinnin vaikeudesta

Joskus tuntuu, että funktioiden approksimointi on suorastaan enemmän taidetta kuin matematiikkaa. Tai ainakin se vielä monen vuoden jälkeenkin aiheuttaa kiitettävästi päänvaivaa, ja eteenpäin tuntuu pääsevän lähinnä jonkin hämärän oivalluksen ansiosta paremminkin kuin kokemuksen avulla.

Työnalla on tämän varsin mielenkiintoisen näköisen funktion approksimointi (C ja alpha enemmän tai vähemmän mielivaltaisia reaalilukuvakioita):

Aloittelin sitä muistaakseni viime keväänä tai kesänä ja kirjoitin siitä yhden postauksenkin tuohon aiempaan blogiin. Kerron tuon funktion taustasta täällä vähän myöhemmin, kunhan saan laskut siihen kuntoon, että niissä on jotain mielekästä esitettävää. Toistaiseksi kaikki vain junnaa juuri tuossa approksimoinnissa, ettei sitä kunnollista tulosta ole saanut oikein paperille. Lisäksi kun tietää jo tässä vaiheessa, että tulokset ei missään tapauksessa ole mielekkäitä, jos tämän vaiheen tekee huonosti, nii mieluummin sitten olen tähän kuluttanut aikaa ihan reilusti.

Lähinnä tässä olisi tavoitteena, että saisi väännettyä jonkinlaisen funktiota approksimoivan sarjan, että approksimaation tarkkuutta olisi helppo parantaa vain laskemalla sarjasta lisää termejä. Niinpä näyttäisi nyt, että täytyy jonkinnäköinen hokkuspokkus tuohon nimittäjään keksiä ja kaivaa neliöjuuren sarjakehitelmät naftaliinista. Mielenkiintoiselta näyttää tässä vaiheessa, muuta on paha vielä sanoa. Sitä odotellessa siis.