Yhtälöitä ja integraaleja: Potenssi, polynomit ja yhtälöt

1 Potenssilaskusäännöt ja yleinen juuri

1.1 Potenssikaavoja

Seuraavat kaavat pätevät, kunhan ei ole yhtäaikaa

$a, b, < 0, \, m, n \notin \mathbb{Z}.$

$\begin{align*} & a^m \cdot a^n = a^{m+n} \\ &\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}, \, \textrm{kun} \, a \ne 0 \\ &(a^n)^m = (a^m)^n = a^{mn} \\ &a^{-n} = \frac{1}{a^n}, \, \textrm{kun} \, a \ne 0 \\ &\frac{a^n}{b^n} = \left( \frac{a}{b} \right )^n = \left( \frac{b}{a} \right )^{-n}, \, \textrm{kun} \, a,b \ne 0. \end{align*}$

Näiden lisäksi on syytä huomata, että

$a^{n^{m}} = a^{\left( n^{m} \right )} \ne a^{mn}.$

1.2 Juurikaavoja

Seuraavissa kaavoissa b ≠ 0, kun n on pariton luonnollinen luku. Kun n on parillinen luonnollinen luku, niin a > 0 ja b > 0.

$\begin{align*} &a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m} = \left( \sqrt[n]{a} \right )^m \\ &\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab} \\ &\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}.\end{align*}$

Lisäksi määritelmäsyistä on

$\left | a \right | = \sqrt[2n]{a^{2n}}, \, \textrm{jossa} \, n \in \mathbb{N}.$

1.3 Harjoituksia

1. Sievennä yksinkertaisimpaan mahdolliseen muotoon.

$\begin{align*}&\textrm{a)} \quad a^{n} \cdot a^{n+1} \left( a^{2n-1} - a^{n-1} \right ) \\ &\textrm{b)} \quad a^{2n-3} \cdot a^{m-n+1} \cdot \frac{a^{1-n-m}}{a^{m-n}} \\ &\textrm{c)} \quad \frac{a^{1-n-m}}{a^{m-n}b} \cdot \frac{b^{1-n-m}a^{n-2m + 1}}{a^{m+n}b^{m-n}}. \end{align*}$

2. Sievennä yksinkertaisimpaan mahdolliseen muotoon.

$\begin{align*}&\textrm{a)} \quad \left( \sqrt{3} \right )^{2/5-n} \left( \sqrt{3} \right )^{2\left(n + 2/5 \right )} \left( \sqrt{3} \right )^{-n - 1/5} \\ &\textrm{b)} \quad \frac{a^{1/m + n + 2}}{\sqrt[m]{a^2} \cdot a^{1-3n}} \\ &\textrm{c)} \quad \frac{a^{c^3}}{a^{c^2}}. \end{align*}$

3. Sievennä.

$\frac{|a|\cdot a^{m/n} \cdot a^{1-m+n}}{a\cdot a^{-3-n}\cdot \sqrt[3]{a^{3n+6}} }.$

2 Yhtälöt

2.1 Ensimmäisen asteen yhtälö

Ensimmäisen asteen yhtälö on muotoa

$ax + b = 0,$

ja sen ratkaisu on

$x = \frac{-b}{a}.$

2.2 Toisen asteen yhtälö

Toisen asteen yhtälö on yleisesti muotoa

$ax^2 + bx + c = 0.$

Yhtälön ratkaisu on

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}.$

Joissain erikoistapauksissa yhtälön ratkaisu onnistuu kuitenkin yksinkertaisemmin.

a = 0: Yhtälö pelkistyy tässä tapauksessa ensimmäisen asteen yhtälöksi, eikä voida puhua toisen asteen yhtälöstä.
b = 0: Yhtälön ratkaisuna on
$x = \pm \sqrt{\frac{-c}{a}}.$
c = 0: Tulon nollasäännön avulla voidaan nyt kirjoittaa ratkaisuksi

$x = 0 \, \vee \, x = \frac{-b}{a}.$

2.3 Harjoituksia

1. Ratkaise seuraavat yhtälöt.

$\begin{align*}&\textrm{a)} \quad x + 2 = 5(3x-2) \\ &\textrm{b)} \quad 2x - \frac{4-7x}{3} = -2x + 1 \\ &\textrm{c)} \quad x^2 + x - 12 = 0 \\ &\textrm{d)} \quad x^2 - 4x - 21 = (x - 8)(x + 3) \end{align*}$

2. Lukujen

$2x,\, (2\pi - 1)x \, \textrm{ja} \, 2x - \pi$

keskiarvo on 14. Mitkä luvut ovat?

3. Ratkaise yhtälöt.

$\begin{align*} &\textrm{a)} \quad \sqrt{x^2 + 1} = 2x - 3 \\ &\textrm{b)} \quad |8 - x| = x + 1 \\ &\textrm{c)} \quad 2x^{4/3} - x^{2/3} - 1 = 0 \end{align*}$

4. Kahden luvun summa on 27 ja tulo 176. Mitkä luvut ovat?